MATEMÁTICA-a lei de Gauss

A Lei de Gauss e a distribuição gaussiana
A Lei de Gauss da Eletricidade é bem conhecida de todo estudante de Matemática ou de Física. Em palavras, ela diz:
"O fluxo de linhas de campo através de uma superfície fechada é proporcional à massa (ou carga) dentro dessa superfície."
Escrevemos carga ou massa pois a Lei de Gauss serve tanto para o campo elétrico quanto para o campo gravitacional.
O que pouca gente sabe é que essa idéia de Gauss resolveu um enigma que atormentou Newton por vários anos.
A questão era a seguinte.
Imagine um aglomerado esférico de pequenas massas, todas iguais, a uma certa distância de outra massa pequena M. É claro que a massa M sofrerá a atração gravitacional das massinhas do aglomerado esférico.
Agora, suponha que o aglomerado esférico se expanda uniformemente, aumentando de raio. Algumas massas se aproximam de M e outras se afastam. A pergunta é: com essa expansão a força gravitacional sobre M aumenta, diminui ou fica constante?
A resposta correta é: fica constante. Newton sabia disso mas não sabia como provar de forma simples e convincente.
Gauss, com sua lei, mostrou que é fácil provar essa afirmação.
Vamos, por simplicidade, traçar linhas de campo saindo de cada massa do aglomerado como retas radiais . Consideremos uma superfície esférica S, imaginária, passando pela massa M. Essa é a chamada "superfície de Gauss". A força sobre M depende do número de linhas que atravessa S (o "fluxo").
Ora, esse número é o mesmo, antes ou depois do aglomerado se expandir . Logo, a força sobre M não muda com a expansão.Processos aleatórios independentes igualmente prováveis costumam se agrupar de modo a seguir uma distribuição chamada de "normal" que foi descrita e estudada por Gauss. Nessa experiência, os eventos são as quedas de bolinhas de gude através de um padrão simétrico de obstáculos. Ao se agruparem em um conjuntos de "gavetas" no fim da queda, as bolinhas mostram um padrão de arrumação que tende a uma distribuição gaussiana. O arranjo consiste de uma prancha (de compensado ou outro material conveniente) sobre o qual é montado um uma espécie de zig-zag de obstáculos triangulares. Bolinhas de gude caem de um funil no alto e vão caindo pelos caminhos através dos obstáculos até se agruparem em uma série de colunas no fim da prancha. À medida que o número de bolinhas nas colunas vai crescendo, o padrão que elas formam vai se aproximando da distribuição de Gauss, a famosa curva na forma de sino. Essa distribuição mostra que a posição mais provável de uma bolinha ao fim de seu zig-zag é a posição central e, quanto mais distante for a posição de uma coluna desse centro menor a probabilidade de uma bolinha cair nela. Nessa experiência, os eventos são as quedas de bolinhas de gude através de um padrão simétrico de obstáculos. Ao se agruparem em um conjuntos de "gavetas" no fim da queda, as bolinhas mostram um padrão de arrumação que tende a uma distribuição gaussiana. O arranjo consiste de uma prancha (de compensado ou outro material conveniente) sobre o qual é montado um uma espécie de zig-zag de obstáculos triangulares. Bolinhas de gude caem de um funil no alto e vão caindo pelos caminhos através dos obstáculos até se agruparem em uma série de colunas no fim da prancha. À medida que o número de bolnhas nas colunas vai crescendo, o padrão que elas formam vai se aproximando da distribuição de Gauss, a famosa curva na forma de sino. Essa distribuição mostra que a posição mais provável de uma bolinha ao fim de seu zig-zag é a posição central e, quanto mais distante for a posição de uma coluna desse centro menor a probabilidade de uma bolinha cair nela.Prancha onde se monta o arranjo de triângulos e as colunas. Pode ser de madeira polida, pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas.
Os obstáculos triangulares são de madeira dura e polida. Podem também ter a forma de hexágonos. Devem ser bem fixos na prancha.
Bolinhas de gude de vidro. Dependendo do tamanho de sua prancha, podem ser necessárias umas 100 bolinhas ou mais.
Funil de plástico por onde passam as bolinhas. Deve caber umas 10 bolinhas. A medida que elas vão descendo, você vai alimentando o funil com novas bolinhas.

• fontes de pesquisa:

Seara da Ciência: salão principal, observação do experimento.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s02.html